Log(로그)의 본질적 정의와 로그 역사, 그리고 사용처, 안녕하세요. 오늘은 수학을 재밌게 알아보고 싶습니다.오늘의 주제는 여러분 아시는 “Log(로그)”요 먼저 로그는 않나!!!머리가 욱신욱신 아플 것 같아요.중학교 때인가요?고교 시절에 배운 후 많이 쓰지는 않다고 생각합니다.하지만 로그는 실제로 우리가 살고 있는 세상에서 아주 잘 써지고 저도 모르게 쓰입니다.우선 오늘의 결론을 말씀 드리면 로그란 “Compression(압축)”입니다.자···오늘 TOPIK는 여기서 마치겠습니다.라고 말하면 화가 나겠어요?후후 로그에 대해서 좀 더 자세히 이해할 필요가 있습니다.우선, 로그가 어디에서 나와서 왜 나왔는지요.로그는 아래(지수 값)의 제곱 근의 형태로 폭발적으로 증가하는 수치를 압축하고 똑같이 보이는 길의 형태로 압축하고 길이와 거리, 수치를 측정하기 위해서 나온 언어입니다. 아, 우선 재미 있는 이야기를 합니다.수학은 언어라는 사실을 알고 있습니까?수학은 자연 현상을 설명하기 위한 언어입니다.수학이 어렵다고 느끼는 이유도 우리가 수학 기호나 수학에서 사용 언어에 대한 사용법, 문법, 단어를 모르기 때문입니다.그러니까 수학이 어렵다고 느끼는 것입니다.그럼 현실 세계의 작동 원리를 설명하는 언어는 무엇입니까?아시는 분도 계시겠지만 현실 세계의 물리적 작동 원리는 거시 세계에서 설명한 것이 현대 물리학입니다.미크로의 세계에서는 양자 역학이 적용되고 확률적으로 모든 것이 존재합니다.그것은 미시 세계의 관점에서는 우리는 존재할 수도 있어 존재하지 않을 수 있다는 사실입니다.그만큼 불안정한 세계의 법칙의 작은 입자들이 거시 세계에서는 안정적으로 존재한다는 것은 정말 말도 안 되는 역설 같습니다.그럼 자연의 언어 중에서는 압축을 담당하는 로그에 대해서 설명하겠습니다.우선, 로그란 왜 압축이라고 했을까요?우선, 아래가 10의 로그 값을 10개 적어 봅니다.그 전에 우리는 수학이라는 언어로 소통하지 않으면 안 되기 때문에 수학 기호(단어)를 배워야 겠네요?로그는 이렇게 표시됩니다.
여기서 Log이라는 단어는 수학의 언어 중에서는 이 숫자가 로그는 방식으로 숫자를 표시하는 언어로 이해하면 될 것입니다.그리고 뒤를 인 a는 로그”아래(base)”로 불립니다.그리고, 그 후의 “b”은 로그”전달 인자(Argument)”이라고 부릅니다.전달 인자는 조금 말이 어렵습니다.다만 로그에 들어가값이라고 이해하면 됩니다.그럼 도대체 왜 이렇게 표현했을까요?제가 오늘 결론을 말씀 드렸습니다.”log는 compression(압축)이다.” 하면 여기서 숫자를 넣으면 숫자가 줄어드는 것이 이치에 맞지요?이를 확인하기 전에 로그를 계산하는 방법을 배웁시다.그 전에 몇번이나 숫자를 걸제곱의 개념을 배워야 합니다.4라는 숫자는 2×2로 구성되고 있겠죠?여기에서 2×2는 2^1×2^1로 표현할 수 있습니다.이는 전혀 말을 하는지 모르나요?네, 문법을 하나 배운 것입니다.우리가 사용하는 숫자 2는 실제로 2라는 숫자가 1과 한번 받고 있다는 사실을 이해합니까?1×2=2란 거네요.그러자 2이 몇번 걸렸는지 나타낼 수 있겠어요?2이 한번 걸렸다는 것을 어떻게 나타내고 있을까요?2^1이 바로 그 말입니다.그럼 2^2은 무슨 뜻이죠?2이라는 숫자를 똑같이 2번 걸었다는 것입니다.2^3은 무엇입니까?네, 2를 3번 걸었다는 것입니다.2^1=22^2=2 x 22^3=2 x 2 x 22^4=2 x 2 x 2이 같이 나타낼 수 있습니다.그럼 이것 좀 정리하고 싶습니다.2를 몇번이나 걸린 것을 예식에 마무리 지을 수 있지 않을까요?네 맞습니다n번호를 걸었을 때는 2^n으로 표현할 수 있습니다.그래서 우리는 아직 결정되지 않은 것 a이라는 것을 n 번 같은 수 a에서 n차례 걸쳤을 때는 a^n로 나타낼 수 있다는 수학의 문법을 배운 것입니다.그럼 이것을 우리가 아는 일상 생활에서 적용하고 봅시다.숫자 8을 볼까요?숫자 8은 2×4로 나타낼 수 있다, 2x2x2로 나타낼 수 있습니다.하면, 이것은 2^3로 나타낼 수 있습니다.64를 2의 2제곱으로 나타내고 봅시다.64는 2x2x2x2x2x2그래서 2이 6번 걸렸네요.64=2^6로 나타냅니다.그럼 숫자를 제곱 근에 분리하고 쓰는 방법을 배웠습니다.
여기서 Log라는 단어는 수학의 언어 중에서 이 숫자가 로그라는 방법으로 숫자를 나타낸다는 언어로 이해하시면 될 것 같습니다.그리고 뒤에 이어지는 a는 로그의 “아래(base)”라고 불립니다.그리고 그 뒤의 ‘b’는 로그의 ‘전달인자(Argument)’라고 부릅니다. 전달인자는 조금 말이 어려워요. 그냥 로그에 들어가는 값이라고 이해하시면 됩니다.그럼 도대체 왜 이렇게 표현했을까요?제가 오늘 결론을 말씀드렸습니다. “log는 compression(압축)이다.그러면 여기서 숫자를 넣으면 숫자가 줄어드는 게 말이 돼요?이것을 확인하기 전에 로그를 계산하는 방법을 배워봅시다.먼저 그 전에 여러 번 숫자를 곱하는 제곱의 개념을 배울 필요가 있습니다.4라는 숫자는 2×2로 이루어져 있죠? 여기서 2×2는 2^1×2^1로 표현할 수 있습니다.이건 전혀 무슨 말인지 모르시는 건가요? 네, 문법을 하나 배운 거죠.우리가 사용하는 숫자 2는 실제로 2라는 숫자가 1과 한 번 걸려 있다는 사실을 이해할 수 있습니까?1×2=2라는 말씀이시군요.그러면 2가 몇 번 걸렸는지 나타낼 수 있죠?2가 한 번 걸렸다는 것을 어떻게 표현하고 있을까요? 2^1이 바로 그 말입니다.그러면 2^2는 무슨 뜻일까요? 2라는 숫자를 똑같이 두 번 걸었다는 거죠.2^3는 무엇일까요? 네, 2를 3번 걸었다는 거죠.2^1 = 22^2 = 2 x 22^3 = 2 x 2 x 22^4 = 2 x 2 x 2 이렇게 나타낼 수 있습니다.그럼 이걸 좀 정리해보고 싶어요.2를 여러 번 곱한 것을 식으로 정리할 수 있지 않을까요?네 맞습니다 n번을 걸었을 때는 2^n라고 표현할 수 있습니다.그래서 우리는 아직 결정되지 않은 숫자 a라는 것을 n번 같은 수 a로 n번 걸었을 때는 a^n로 나타낼 수 있다는 수학 문법을 배운 것입니다.그러면 이것을 우리가 알고 있는 일상 생활에서 적용시켜 봅시다.숫자 8을 볼까요? 숫자 8은 2×4로 나타낼 수 있고 2x2x2로 나타낼 수 있습니다. 그러면 이것은 2^3로 나타낼 수 있죠.64를 2의 제곱으로 나타내 볼까요? 64는 2x2x2x2x2니까 2가 6번 걸었네요. 64=2^6로 표현할 수 있겠네요.그럼 이제 숫자를 제곱근으로 분리해서 쓰는 법을 배워봤는데요.
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이 식을 볼까요?만약 a가 10^3이라고 할까요?b는 10^5라고 할까요?그럼 Log10^310^5이라고 표현할 거죠?여기에서 로그에는 특이한 성질이 있습니다.곱한 횟수를 나타내는 부분인 3과 5를 우리는 지수 값이라고 부릅니다.그 지수치를 각각 앞에 낼 수 있습니다.여기서 3는 아래에 있으므로, 아래에 나올 거예요.5는 위에 있으므로 위에 나옵니다.여기서 “아래에 나오는 “,”위에 나온다”이란 표현은 분모·분자라고 생각하면 됩니다.위쪽을 분자(Numerator)이라는 밑을 분모(Denominator)라고 합니다.아, 그 전에 우선 띄어쓰기를 어떻게 표현할 것을 배우지 않아요.분모 분자를 나누는 페어는/로 표현합니다.분자/분모, 이렇게 표현합니다.5분의 1은 1/5로 표현합니다.10분의 1은 1/10으로 표현합니다.그럼 위식을 정리하고 보겠습니다.Log10^310^5=5/3Log1010여기까지는 이해합니까?그럼, 이곳에서 5/3과 Log1010으로 나누어 봅시다. 5/3과 Log1010은 오간 사이입니다.수학에서는 곱셈된 경우는 x기호와*를 사용합니다만 아무런 기호도 없는 경우는 곱셈된 경우라고 생각하면 됩니다.거기서 결론으로서 Log10^310^5=5/3Log1010=5/3xLog1010이 됩니다.여기까지 따라오셨죠?그래서는 로그라는 친구가 갖고 있는 성질을 몇가지 배우고 봅시다.Log1010에서 로그 밑과 위의 숫자가 같을 경우 1에서 정리할 수 있습니다.네, 각각 숫자 값이 같으면 무조건 1에서 나옵니다.아래에서 100000(10만)에서에도 100000(10만)에서도1에서 나옵니다.하면 Log10^310^5=5/3Log10=5/3xLog1010=5/3이 되는군요.그러자 우리는 기본적인 로그 성질을 배우고 어떻게 정리될지 배웠습니다.이제 본격적인 토픽인 압축을 채택합니다.만약 다음과 같은 로그 값이 있다고 합니다.Log1010^1 Log1010^2 Log1010^3 Log1010^4 Log8 10^5 Log8 10^6 Log8 Log8 10^9 Log8 10^910을 곱한 숫자 값을 계산해서 봅시다.Log1010100Log101000Log1010000Log10100000Log101000000Log1010000000Log101000000000Log1010000000000000R, 그럼 여기를 보면 위의 숫자 값이 정말 어처구니없는 더 커지는 것이 보이나요?이것이 로그가 나온 이유입니다.숫자 값이 너무 커지므로 천문학 같은 분야에서는 로그 값을 활용할 수밖에 없습니다. 왜냐하면 우주의 거리가 뭐 100만광년이라는 숫자는 아주 재미 있는 일이기 때문입니다.그래서 우리가 아는 숫자인 1에서 10,100,000,100000,100000라는 식으로는 그 긴 거리를 절대로 우리가 가진 여러 체계로 나타낼 수 없기 때문입니다.우선 이 숫자를 어떻게 압축할지를 선 보이고 전에 로그를 제치고 전 숫자를 다시 봅시다.10^110^210^310^410^510^710^810^910^10아까 본 것처럼 이 숫자는 10을 몇번이나 걸어 숫자 길이가 너무 길어집니다.이를 자로 나타내면, 정말 힘드시죠?길이가 너무 나타나서 표현할 수 있는 숫자의 단위도 크지 않으면 안 되니까.거기서 이곳에서 로그가 등장합니다.이 숫자를 일정하게 줄이고 보자는 것입니다.그래서 Log1010^1 Log1010^2 Log1010^3 Log1010^4 Log8 10^5 Log8 10^6 Log8 Log8 10^9 Lag 10 10^1이라는 값이 나옵니다.그리고 이를 길게 표현하면 Log1010100Log101000Log1010000Log101000000Log101000000Log101000000Log101000000000Log1010000000000000Rog101000000이라고 하면 로그라는 박스에 담긴 숫자에요?이를 다시 10의 제곱에 덜어 봅시다.Log1010^1 Log1010^2 Log1010^3 Log1010^4 Log8 10^5 Log1 0^6 Log8 10^8 Log8 10^9 Log8 10과 여기서 아래 10과 위의 10이 같으니 끄더라도 괜찮을까요?그럼 1이 나온다고 하셨죠?그러나 그 전에 숫자가 긴 표현되는 곳에 지수의 형태로 10^1,10^2,10^3,10^4,10^5,10^6,10^7,10^8, 10{9, 10}라고 표현되고 있습니까?그럼 위의 숫자를 다시 정리하면, 1Log10102Log10103Log10104Log10105Log10106Log10107Log10108Log10109Rog10101라는 식으로 정리되어 있어요.여기서 Log1010은 1죠?그럼 아까 본 10^1=1010^2=100000010^3=100010^4=1000010^5=10000010^6=100000010^7=1000000010^8=10000000010000100+9+1000000100+1000000이라는 숫자가 로그라는 아이를 덮어, 1Log 10 10 10 10+12Log 10 10+23Log 10+34Log 1000000000000+45Logx105Log 6109+Log 61Log 6709×78.게다가 일정하게 1씩 늘어나게 줄었어요?하자 우리들은 숫자가 압축됐다.라고 표현합니다.즉, 10->1100->21000->310000->4100000->51000000->610000000->7100000000->81000000000->91000000000